덧셈 역원

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 특수한 예
참조

1. 개요

덧셈 역원은 아벨 군의 원소 a에 대해 a + (-a) = 0을 만족하는 원소 -a를 의미한다. 덧셈 역원은 뺄셈과 관련 있으며, 덧셈 아벨 군에서 여러 항등식이 성립한다. 정수, 유리수, 실수, 복소수는 덧셈 역원에 대해 닫혀 있으며, 자연수, 기수, 순서수는 그렇지 않다. 벡터 공간에서 덧셈 역원은 방향이 반대인 벡터이고, 모듈러 산술과 불 대수에서도 덧셈 역원이 정의된다.

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덧셈 역원
수학적 정의
정의	어떤 수 x에 대해, 그 수와 더했을 때 0이 되는 수 -x를 말함
수식	x + (-x) = (-x) + x = 0
성질
덧셈 역원의 덧셈 역원	-(−a) = a
덧셈 역원의 유일성	각 a에 대해, 덧셈 역원은 유일함
덧셈 역원과 뺄셈	a − b = a + (−b)
예시
예시	7의 덧셈 역원은 -7 (7 + (-7) = 0) -3.5의 덧셈 역원은 3.5 ((-3.5) + 3.5 = 0)
일반화
벡터 공간	덧셈 연산이 정의된 벡터 공간에서도 덧셈 역원을 정의할 수 있음. 벡터 v의 덧셈 역원은 -v이며, v + (-v) = 0이 성립함

2. 정의

덧셈 역원은 임의의 덧셈 아벨 군 $(A,0_A,+)$ 의 원소 $a\in A$ 에 대하여 정의할 수 있다. (덧셈이 주어진 정수환, 유리수체, 실수체, 복소수체, 행렬 공간, 다항식환, 함수 공간 등은 모두 아벨 군의 예이다.)^[7] 이 원소의 '''덧셈 역원'''은 다음 등식을 만족시키는 원소 $-a\in A$ 를 뜻한다.

: $a+(-a)=0_A$

각 원소의 덧셈 역원은 유일한데, 이는 만약 $b,b'\in A$ 가 모두 $a$ 의 덧셈 역원이라면,

: $b=b+0_A=b+(a+b')=(b+a)+b'=0_A+b'=b'$

이 성립하기 때문이다.^[7]

덧셈 항등원 $e \in S$ 를 갖는 덧셈 $(S, +)$ 에 의해 정의된 대수 구조가 주어졌을 때, 원소 $x \in S$ 는 덧셈 역원 $y$ 를 가지며, 이는 $y \in S$ , $x + y = e$ , 그리고 $y + x = e$ 일 때에만 성립한다.^[7]

덧셈은 일반적으로 교환 연산을 지칭하는 데에만 사용되지만, 반드시 결합 연산일 필요는 없다. 결합적일 때, 즉 $(a + b) + c = a + (b + c)$ 일 때, 왼쪽 및 오른쪽 역원이 존재한다면 일치하며, 덧셈 역원은 유일하다. 비결합적인 경우, 왼쪽 및 오른쪽 역원이 일치하지 않을 수 있으며, 이러한 경우 역원은 존재하지 않는 것으로 간주한다.^[7]

이 정의는 닫힘을 요구하며, 덧셈 원소 $y$ 가 $S$ 에서 발견되어야 한다. 이것이 자연수에 덧셈이 정의되어 있음에도 불구하고, 구성원들에 대한 덧셈 역원이 없는 이유이다. 관련된 역원은 음의 정수가 될 것이며, 이것이 정수가 덧셈 역원을 갖는 이유이다.^[7]

3. 성질

뺄셈은 덧셈 역원을 사용한 덧셈으로 볼 수 있다. (a - b = a + (-b)) 덧셈 역원은 0에서 뺄셈으로 생각할 수 있다. (-a = 0 - a) 이러한 연관성으로 인해 17세기부터 반대 부호와 뺄셈 모두에 빼기 기호가 사용되었다. 이 표기법은 오늘날 표준으로 사용되지만, 당시에는 일부 수학자들이 혼란을 야기하고 오류를 유발할 수 있다고 생각하여 반대에 부딪히기도 했다.^[8]

덧셈 아벨 군 $A$ 위에서, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.

덧셈의 보존: $-(a+b)=-a-b$
대합: $-(-a)=a$
$a-(-b)=a+b$
어떤 수와 그 덧셈 역원을 더하면 0이 된다.
어떤 수의 덧셈 역원의 덧셈 역원은 원래의 수이다.
0에서 어떤 수를 뺀 결과는 그 수의 덧셈 역원이다.
0의 덧셈 역원은 0이다.
원래의 수와 덧셈 역원이 같은 것은 0뿐이다.
어떤 수에 -1을 곱한 결과는 그 수의 덧셈 역원이다.
합의 덧셈 역원은 덧셈 역원의 합과 같다.

만약

A

에 곱셈을 추가하여 환을 이루게 된다면, 다음과 같은 항등식들이 추가로 성립한다.

양쪽 곱셈의 보존: $(-a)b=a(-b)=-ab$
$(-a)(-b)=ab$

만약

A

의 0이 아닌 모든 원소가 곱셈 역원을 갖는다면, (즉,

A

가 나눗셈환을 이룬다면,) 다음과 같은 항등식들이 추가로 성립한다.

곱셈 역원의 보존: $(-a)^{-1}=-a^{-1}$
$(-a)/b=a/(-b)=-a/b$
$(-a)/(-b)=a/b$

예를 들어, 임의의 복소수의 경우, 위 항등식들은 모두 성립한다.

4. 예시

정수, 유리수, 실수, 복소수는 덧셈 역원 연산에 대해 닫혀있다. 즉, 이들의 덧셈 역원은 각각 정수, 유리수, 실수, 복소수이다.^[6]

덧셈 역원의 간단한 예시
n	-n
7	-7
0.35	-0.35
1/4\|4분의 1^영어	-1/4\|-4분의 1^영어
π\|파이^한국어	-π\|-파이^한국어
1 + 2i	-1 - 2i

정수 3의 덧셈 역원은 -3이다.
소수 5.6의 덧셈 역원은 -5.6이다.
분수 2/3의 덧셈 역원은 -2/3이다. 이것은 또한 -2/3 또는 2/-3과 같다.
복소수 1 + 7i의 덧셈 역원은 -1 - 7i이다(''i''는 허수 단위라고 불리며, ''i''² = -1을 만족한다).

5. 특수한 예

벡터 공간에서 덧셈 역원은 보통 반대 벡터라고 불리며, 원래 벡터와 크기는 같지만 방향은 반대이다.^[9]

모듈러 산술에서 ''x''의 모듈러 덧셈 역원은 ''a'' + ''x'' ≡ 0 (mod ''n'')을 만족하는 수 ''a''이며, 항상 존재한다. 예를 들어, 3의 모듈러 11에 대한 역원은 8인데, 이는 3 + 8 ≡ 0 (mod 11)이기 때문이다.^[10]

불 대수 링에서 덧셈은 종종 대칭차로 정의된다. 덧셈 항등원은 0이고, 0과 1은 모두 자기 자신의 덧셈 역원이다.^[11]

5. 1. 벡터 공간

벡터 공간에서 덧셈 역원(흔히 반대 벡터라고 불림)은 원래 벡터와 크기는 같지만 방향은 반대이다.^[9]

5. 2. 모듈러 산술

모듈러 산술에서 ''x''의 모듈러 덧셈 역원은 ''a'' + ''x'' ≡ 0 (mod ''n'')을 만족하는 수 ''a''이며, 항상 존재한다.^[10] 예를 들어, 3의 모듈러 11에 대한 역원은 8인데, 이는 3 + 8 ≡ 0 (mod 11)이기 때문이다.^[10]

5. 3. 불 대수

불 대수 링에서는 덧셈이 종종 대칭차로 정의된다. 따라서 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 그리고 1 + 1 = 0이다. 덧셈 항등원은 0이고, 두 요소 0과 1은 모두 자기 자신의 덧셈 역원이며, 0 + 0 = 0와 1 + 1 = 0이다.^[11]

참조

_[1] 서적 Contemporary abstract algebra Cengage Learning 2017
_[2] 서적 A first course in abstract algebra Pearson 2014
_[3] 웹사이트 2.5 Properties of Real Numbers -- Introductory Algebra https://pressbooks.b[...] 2021-03-26
_[4] 웹사이트 Standards::Understand p + q as the number located a distance {{!}}q{{!}} from p, in the positive or negative direction depending on whether q is positive or negative. Show that a number and its opposite have a sum of 0 (are additive inverses). Interpret sums of rational numbers by describing real-world contexts. https://learninglab.[...] 2024-08-04
_[5] 웹사이트 SI242: divisibility https://www.usna.edu[...] 2024-08-04
_[6] 웹사이트 2.2.5: Properties of Equality with Decimals https://k12.libretex[...] 2024-08-04
_[7] 서적 A first course in abstract algebra Pearson 2014
_[8] 서적 A History of Mathematical Notations: two volume in one Cosimo Classics 2011
_[9] 서적 Vector Spaces Springer International Publishing 2024
_[10] 서적 Cryptography and network security PHI Learning Private Limited 2015
_[11] 간행물 Boolean unification — The story so far https://www.scienced[...] 1989-03-01

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